PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
Найдите значение выражения 
Найдите значение выражения 
если 
Найдите значение выражения 
Преобразуйте выражение 
выделив полый квадрат.
Решите уравнение 
Найдите 
если пара чисел (x, y) является решением системы 
Найдите неопределённый интеграл 
Найдите радиус основания цилиндра, разверткой боковой поверхности которой является квадрат со стороной 8.
Решите систему неравенств: 
Pешите уравнение 
и найдите сумму его корней на 
Найдите первообразную функции 
проходящую через точку 
Найдите решение системы неравенств: 
Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка (как показано на рисунке), длины которых равны 14 и 3, считая от вершины. Найдите периметр треугольника.
Вычислите 
Найдите диагональ прямоугольной призмы, в основании которой лежит прямоугольник со сторонами 8 см и 
см
Найдите произведение корней (корень, если он единственный) уравнения 
Решите систему неравенств: 
Найдите площадь фигуры, ограниченной параболами: 
Основания равнобедренной трапеции ABCD равны 30 и 18, а острый угол равен 45°. Найдите площадь трапеции.
Найдите первые четыре члена последовательности {an}, если a1 = 7 и 
Найдите угол между векторами 
и 
если 
Hекоторое двузначное число разделили на разность его цифр. Какое выражение удовлетворяет данному условию?
Пусть x0 — наибольший корень уравнения 
тогда значение выражения 
равно ...
Решите неравенство 
Найти уравнение касательной к графику функции 
в точке с абсциссой 
если 
Чайный двор
Посуда является товаром народного потребления и оценивается не только как предмет быта, но и как элемент декора. Спрос на нее всегда остается на достаточно высоком уровне по ряду причин. На сегодняшний день рынок представлен многообразием товаров различных видов посуды и ценовых категорий, что позволяет удовлетворить любой спрос.
В магазине «Чайный двор» выставлены на продажу различный ассортимент чайной посуды начиная от ложки для чая, заканчивая посудой для чайных церемоний из различных металлов и материалов. По акции продавались 5 чашек, 8 блюдцев, 7 ложек. Мадина купила домой комплект посуды по акции.
Сколькими способами Мадина может выбрать в магазине комплект «чашка+блюдце+ложка»?
В кабинете математики имеется шкаф с тремя полками для моделей объемных разноцветных фигур — пирамид, шара, параллелепипеда, конуса, призмы, тетраэдра, цилиндра общим количеством 14 штук (по две модели каждого вида).
Учитель расставил на одной полке шкафа по одной модели фигур каждого вида. Рядом стоящая ученица заметила, что расставить эти фигуры на полке можно в различном порядке. Сколько таких вариантов размещения существует?
Cемейная пара собирается в поездку на поезде. В составе поезда имеются следующие типы вагонов:
1) CВ — купе на 2 человека;
2) Kупе — купе на 4 человека;
3) Плацкарт А — вагон на 36 человек;
4) Плацкарт В — вагон на 54 человека;
5) Oбщий вагон — вагон на 81 человек.
Oпределите, сколькими способами пара сможет разместиться в вагоне типа Плацкарт B.
Пирамидка — это вторая по популярности механическая головоломка в мире. Она имеет вид тетраэдра, у которого грани разделены на 9 равносторонних треугольников со стороной 3 см. Все грани Пирамидки разного цвета. Мефферт изобрел Пирамидку в 1971 г — почти на 10 лет раньше, чем Эрно Рубик придумал свой знаменитый кубик. Но только после успеха кубика Рубика Мефферт решил запатентовать свое изобретение. Элементы пирамидки Мефферта: А — «уголки» (имеют 3 цветные грани), В — «ребра» (имеют 2 цветные грани), С — «радиаторы» (имеют 1 цветную грань).
Kакой высоты должна быть упаковка для Пирамидки?
см
см
см
смПирамидка — это вторая по популярности механическая головоломка в мире. Она имеет вид тетраэдра, у которого грани разделены на 9 равносторонних треугольников со стороной 3 см. Все грани Пирамидки разного цвета. Мефферт изобрел Пирамидку в 1971 г — почти на 10 лет раньше, чем Эрно Рубик придумал свой знаменитый кубик. Но только после успеха кубика Рубика Мефферт решил запатентовать свое изобретение. Элементы пирамидки Мефферта: А — «уголки» (имеют 3 цветные грани), В — «ребра» (имеют 2 цветные грани), С — «радиаторы» (имеют 1 цветную грань).
Изготовитель выбрал упаковку для Пирамидки в виде сферы. Каким должен быть диаметр упаковки?
см
см
см
смФункция задана уравнением 
Установите соответствия:
A) Нули функции
Б) Область допустимых значений функции
1) [−2; 4]
2) 
3) [0; 6]
4) 
Шар вписан в конус, высота которого равна 40, а объем — 1080π. Установите соответствие между радиусом основания конуса, радиусом шара и их числовыми значениями.
A) Радиус основания конуса
Б) Радиус шара
1) 9
2) 
3) 12
4) 
Представьте в виде многочлена выражение 
Установите соответствия между коэффициентом при x2, суммой коэффициентов многочлена и числовым промежуткам, которым они принадлежат.
A) Коэффициент при x2
Б) Сумма коэффициентов многочлена
1) (0; 5)
2) [6; 9)
3) (20; 30)
4) (10; 20)
Даны уравнения 
и 
Установите соответствия:
A) Каждое число является корнем хотя бы одного из уравнений
Б) Ни одно из чисел не является корнем уравнений
1) −1, 3, 4
2) 2, 1, 0
3) 5, −1, 4
4) 4, 1, 8
Геометрическая прогрессия 
задана формулой 
Установите соответствие между выражением и его числовым значением.
A) b4
Б) S3
1) 14
2) −54
3) 162
4) 3
Вычислите 
Найдите значение выражения 
Сумма цифр четырехзначного числа равна 16 и все цифры числа образуют арифметическую прогрессию. Причем, цифра единиц на 4 больше цифры сотен. Выберите верные утверждения.
Решите систему неравенств 
Точка O — центр шара, точка O1 — центр круга — сечения шара. Найдите объем шара, если O1N = 6 и угол O1NO равен 30°.
:
Подставляя это выражение в первое уравнение, находим 
и 
Пусть 
тогда 
Получаем:
Пусть 
тогда 
Получаем:
Пусть 
тогда 
Получаем:
Площадь боковой поверхности цилиндра равна 
откуда
На единичной окружности (см рисунок) отметим дуги, на которых 
и 
Пересечением этих дуг будет дуга 
Значит, 
Тогда 
получаем что либо 
и 
либо 
их сумма равна нулю.
корнем знаменателя 
При 
или 
числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки (такие x подходят), при 
числитель положителен, а знаменатель отрицателен (такие x не подходят), при 
дробь равна нулю, а при 
—
корнем знаменателя 
При 
или 
числитель и знаменатель имеют разные знаки (такие x подходят), при 
числитель и знаменатель положительны (такие x не подходят), при 
дробь равна нулю, а при 
—
Тогда периметр треугольника равен 
Найдем неопределенный интеграл 
5 см. Поэтому его диагональ имеет длину 
Имеем:
Полученное уравнение имеет один положительный и один отрицательный корень. Согласно теореме Виета, произведение корней уравнения равно −27.
однако первое неравенство все равно определено только при 
поэтому про второе можно больше не думать.
получим 
а разность его цифр равна 
(или 
поэтому подходит только пятая формула.
Тогда 
при всех 
поэтому оно не влияет на знак. Решив неравенство 
получим 
Еще останется запретить 
Окончательно получаем ответ: 
Составим уравнение касательной, проходящей через точку с абсциссой x0 = 1:
вариантов.
получаем 
вариантов. 
следовательно, диаметр сферы, в которую можно упаковать Пирамидку, равен 
задается промежутком [−1; 1]. Тогда область допустимых значений функции 
задается промежутком [0; 6].
Осевое сечение конуса представляет собой треугольник со сторонами 41, 41, 2 · 9 = 18, а вписанный шар плоскость пересекает по вписанному кругу этого треугольника, причем для шара это тоже сечение, проходящее через центр (он лежит на оси конуса). Значит, осталось найти радиус вписанной окружности треугольника с данными сторонами.
Найдем сумму первых трех членов прогрессии:
откуда 
Итак, это число 1357. Теперь можно проверить все предложенные свойства.
