Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 7 № 4181
i

Най­ди­те не­опре­делённый ин­те­грал  при­над­ле­жит t левая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 4x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 3x минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 5 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 1 минус 5x пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка dx.

1)  дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 минус 4x пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 4 на­ту­раль­ный ло­га­рифм дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 3x минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 3 на­ту­раль­ный ло­га­рифм 2 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 5 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 5x пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: на­ту­раль­ный ло­га­рифм 5 конец дроби плюс C
2)  дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 минус 4x пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 4 на­ту­раль­ный ло­га­рифм дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 3x минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: на­ту­раль­ный ло­га­рифм 2 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 5 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 5x пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: на­ту­раль­ный ло­га­рифм 5 конец дроби плюс C
3)  дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 минус 4x пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 4 на­ту­раль­ный ло­га­рифм дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 3x минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 3 на­ту­раль­ный ло­га­рифм 2 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 5 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 5x пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: на­ту­раль­ный ло­га­рифм 5 конец дроби плюс C
4)  дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 минус 4x пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 2 на­ту­раль­ный ло­га­рифм дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 3x минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 3 на­ту­раль­ный ло­га­рифм 2 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 5 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 5x пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: на­ту­раль­ный ло­га­рифм 3 конец дроби плюс C
Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Имеем:

 при­над­ле­жит t левая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 4x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 3x минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 5 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 1 минус 5x пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка dx = при­над­ле­жит t{ левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 4x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка dx минус при­над­ле­жит t2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 3x минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка dx минус при­над­ле­жит t5 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 1 минус 5x пра­вая круг­лая скоб­ка dx.

Най­дем не­опре­де­лен­ный ин­те­грал  при­над­ле­жит t{ левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 4x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка dx. Пусть u=4x минус 2, тогда du = 4dx. По­лу­ча­ем:

 дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби при­над­ле­жит t левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни u du = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни u , зна­ме­на­тель: на­ту­раль­ный ло­га­рифм дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби конец дроби = дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни u , зна­ме­на­тель: 4 на­ту­раль­ный ло­га­рифм дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби конец дроби .

Вер­нув­шись к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной, по­лу­ча­ем:  дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 минус 4x пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 4 на­ту­раль­ный ло­га­рифм дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби конец дроби .

Най­дем не­опре­де­лен­ный ин­те­грал  при­над­ле­жит t2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 3x минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка dx. Пусть u = 3x минус 4, тогда 3u = 3dx. По­лу­ча­ем:

 дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби при­над­ле­жит t2 в сте­пе­ни u du = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 2 в сте­пе­ни u , зна­ме­на­тель: на­ту­раль­ный ло­га­рифм 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2 в сте­пе­ни u , зна­ме­на­тель: 3 на­ту­раль­ный ло­га­рифм 2 конец дроби .

Воз­вра­ща­ясь к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной, по­лу­ча­ем:  дробь: чис­ли­тель: 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 3x минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 3 на­ту­раль­ный ло­га­рифм 2 конец дроби .

Най­дем не­опре­де­лен­ный ин­те­грал  при­над­ле­жит t5 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 1 минус 5x пра­вая круг­лая скоб­ка dx. Пусть u = 1 минус 5x, тогда du = минус 5dx. По­лу­ча­ем:

 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби при­над­ле­жит t5 в сте­пе­ни u du = минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби дробь: чис­ли­тель: 5 в сте­пе­ни u , зна­ме­на­тель: на­ту­раль­ный ло­га­рифм u конец дроби = минус дробь: чис­ли­тель: 5 в сте­пе­ни u , зна­ме­на­тель: 5 на­ту­раль­ный ло­га­рифм u конец дроби .

Воз­вра­ща­ясь к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной, по­лу­ча­ем:  дробь: чис­ли­тель: 5 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 5x пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: на­ту­раль­ный ло­га­рифм 5 конец дроби .

Объ­еди­нив най­ден­ные зна­че­ния, по­лу­ча­ем ито­го­вый ответ:  дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 минус 4x пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 4 на­ту­раль­ный ло­га­рифм дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 3x минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 3 на­ту­раль­ный ло­га­рифм 2 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 5 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 5x пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: на­ту­раль­ный ло­га­рифм 5 конец дроби плюс C,C при­над­ле­жит R .

 

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 1.

Классификатор алгебры: Вы­чис­ле­ние ин­те­гра­лов
Методы алгебры: За­ме­на пе­ре­мен­ной