ЕНТ–2024, математика: задания, ответы, решения

Варианты заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д46 A46 № 4094 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Уравнения с комплексными числами

Сложные комплексные числа. Решение уравнений с комплексными числами

Решите уравнение: $z в квадрате плюс 3z плюс 4=0.$

1) $z= минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби i$

2) $z= минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби i$

3) $z= дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби i,$

4) $z= дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби i,$

5) $z= дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби i,$

6) $z= минус 2 минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби i,$

Решение.

Пусть $z = x плюс iy,$ где x и y  — вещественные числа. Тогда:

$левая круглая скобка x плюс iy правая круглая скобка в квадрате плюс 3 левая круглая скобка x плюс iy правая круглая скобка плюс 4 = 0 равносильно x в квадрате плюс 2xiy плюс i в квадрате y в квадрате плюс 3x плюс 3iy плюс 4 = 0 равносильно$
$равносильно x в квадрате плюс 2xiy минус y в квадрате плюс 3x плюс 3iy плюс 4 = 0 равносильно x в квадрате минус y в квадрате плюс 3x плюс i левая круглая скобка 2xy плюс 3y правая круглая скобка = минус 4 равносильно система выражений x в квадрате минус y в квадрате плюс 3x = минус 4,2xy плюс 3y = 0. конец системы .$ $левая круглая скобка x плюс iy правая круглая скобка в квадрате плюс 3 левая круглая скобка x плюс iy правая круглая скобка плюс 4 = 0 равносильно x в квадрате плюс 2xiy плюс i в квадрате y в квадрате плюс 3x плюс 3iy плюс 4 = 0 равносильно$
$равносильно x в квадрате плюс 2xiy минус y в квадрате плюс 3x плюс 3iy плюс 4 = 0 равносильно$
$равносильно x в квадрате минус y в квадрате плюс 3x плюс i левая круглая скобка 2xy плюс 3y правая круглая скобка = минус 4 равносильно система выражений x в квадрате минус y в квадрате плюс 3x = минус 4,2xy плюс 3y = 0. конец системы .$ $левая круглая скобка x плюс iy правая круглая скобка в квадрате плюс 3 левая круглая скобка x плюс iy правая круглая скобка плюс 4 = 0 равносильно$
$равносильно x в квадрате плюс 2xiy плюс i в квадрате y в квадрате плюс 3x плюс 3iy плюс 4 = 0 равносильно$
$равносильно x в квадрате плюс 2xiy минус y в квадрате плюс 3x плюс 3iy плюс 4 = 0 равносильно$
$равносильно x в квадрате минус y в квадрате плюс 3x плюс i левая круглая скобка 2xy плюс 3y правая круглая скобка = минус 4 равносильно система выражений x в квадрате минус y в квадрате плюс 3x = минус 4,2xy плюс 3y = 0. конец системы .$ $левая круглая скобка x плюс iy правая круглая скобка в квадрате плюс 3 левая круглая скобка x плюс iy правая круглая скобка плюс 4 = 0 равносильно$
$равносильно x в квадрате плюс 2xiy плюс i в квадрате y в квадрате плюс 3x плюс 3iy плюс 4 = 0 равносильно$
$равносильно x в квадрате плюс 2xiy минус y в квадрате плюс 3x плюс 3iy плюс 4 = 0 равносильно$
$равносильно x в квадрате минус y в квадрате плюс 3x плюс i левая круглая скобка 2xy плюс 3y правая круглая скобка = минус 4 равносильно$
$равносильно система выражений x в квадрате минус y в квадрате плюс 3x = минус 4,2xy плюс 3y = 0. конец системы .$

Рассмотрим уравнение $2xy плюс 3y = 0 равносильно y левая круглая скобка 2x плюс 3 правая круглая скобка = 0 равносильно совокупность выражений y = 0,2x плюс 3 = 0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений y = 0,x = минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби . конец совокупности .$

В случае y  =  0 первое уравнение системы принимает вид $x в квадрате плюс 3x плюс 4 = 0,$ оно не имеет решений. Рассмотрим случай $x = минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби :$

$система выражений x в квадрате минус y в квадрате плюс 3x = минус 4,x = минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби конец системы . равносильно система выражений левая круглая скобка минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в квадрате минус y в квадрате плюс 3 умножить на левая круглая скобка минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка = минус 4,x = минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби конец системы . равносильно система выражений y в квадрате = дробь: числитель: 7, знаменатель: 4 конец дроби ,x = минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби конец системы . равносильно совокупность выражений система выражений x = минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби ,y = дробь: числитель: корень из 7 , знаменатель: 2 конец дроби , конец системы . система выражений x = минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби ,y = минус дробь: числитель: корень из 7 , знаменатель: 2 конец дроби . конец системы . конец совокупности .$ $система выражений x в квадрате минус y в квадрате плюс 3x = минус 4,x = минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби конец системы . равносильно система выражений левая круглая скобка минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в квадрате минус y в квадрате плюс 3 умножить на левая круглая скобка минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка = минус 4,x = минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений y в квадрате = дробь: числитель: 7, знаменатель: 4 конец дроби ,x = минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби конец системы . равносильно совокупность выражений система выражений x = минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби ,y = дробь: числитель: корень из 7 , знаменатель: 2 конец дроби , конец системы . система выражений x = минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби ,y = минус дробь: числитель: корень из 7 , знаменатель: 2 конец дроби . конец системы . конец совокупности .$ $система выражений x в квадрате минус y в квадрате плюс 3x = минус 4,x = минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений левая круглая скобка минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в квадрате минус y в квадрате плюс 3 умножить на левая круглая скобка минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка = минус 4,x = минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений y в квадрате = дробь: числитель: 7, знаменатель: 4 конец дроби ,x = минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби конец системы . равносильно совокупность выражений система выражений x = минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби ,y = дробь: числитель: корень из 7 , знаменатель: 2 конец дроби , конец системы . система выражений x = минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби ,y = минус дробь: числитель: корень из 7 , знаменатель: 2 конец дроби . конец системы . конец совокупности .$

Таким образом, $z= минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби i,$ $z= минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби i.$

Правильные ответы указаны под номерами 1 и 2.

Ответ: 12

Аналоги к заданию № 4093: 4094 Все

РешениеСпрятать решение · Помощь

Наверх