ЕНТ–2024, математика: задания, ответы, решения

Варианты заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д46 A46 № 4090 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Уравнения с комплексными числами

Сложные комплексные числа. Решение уравнений с комплексными числами

Решите уравнение: $z в кубе = минус 1.$

1) $z= минус 1 минус i$

2) $z= минус 1$

3) $z= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: i корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби$

4) $z= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби минус дробь: числитель: i корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби$

5) $z= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: i корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби .$

6) $z=1$

Решение.

Пусть $z = x плюс iy,$ где x и y  — вещественные числа. Тогда:

$левая круглая скобка x плюс iy правая круглая скобка в кубе = минус 1 равносильно x в кубе плюс 3x в квадрате iy плюс 3xi в квадрате y в квадрате плюс i в кубе y в кубе = минус 1 равносильно x в кубе минус 3xy в квадрате плюс 3x в квадрате iy минус iy в кубе = минус 1 равносильно$
$равносильно x в кубе минус 3xy в квадрате плюс i левая круглая скобка 3x в квадрате y минус y в кубе правая круглая скобка = минус 1 равносильно система выражений x в кубе минус 3xy в квадрате = минус 1,3x в квадрате y минус y в кубе = 0. конец системы .$ $левая круглая скобка x плюс iy правая круглая скобка в кубе = минус 1 равносильно x в кубе плюс 3x в квадрате iy плюс 3xi в квадрате y в квадрате плюс i в кубе y в кубе = минус 1 равносильно$
$равносильно x в кубе минус 3xy в квадрате плюс 3x в квадрате iy минус iy в кубе = минус 1 равносильно$
$равносильно x в кубе минус 3xy в квадрате плюс i левая круглая скобка 3x в квадрате y минус y в кубе правая круглая скобка = минус 1 равносильно система выражений x в кубе минус 3xy в квадрате = минус 1,3x в квадрате y минус y в кубе = 0. конец системы .$ $левая круглая скобка x плюс iy правая круглая скобка в кубе = минус 1 равносильно x в кубе плюс 3x в квадрате iy плюс 3xi в квадрате y в квадрате плюс i в кубе y в кубе = минус 1 равносильно$
$равносильно x в кубе минус 3xy в квадрате плюс 3x в квадрате iy минус iy в кубе = минус 1 равносильно$
$равносильно x в кубе минус 3xy в квадрате плюс i левая круглая скобка 3x в квадрате y минус y в кубе правая круглая скобка = минус 1 равносильно$
$равносильно система выражений x в кубе минус 3xy в квадрате = минус 1,3x в квадрате y минус y в кубе = 0. конец системы .$

Из уравнения $3x в квадрате y минус y в кубе = 0$ получаем:

$3x в квадрате y минус y в кубе = 0 равносильно y левая круглая скобка 3x в квадрате минус y в квадрате правая круглая скобка = 0 равносильно совокупность выражений y = 0,3x в квадрате = y в квадрате . конец совокупности .$

Рассмотрим случай y  =  0:

$система выражений x в кубе минус 3xy в квадрате = минус 1,y = 0 конец системы . равносильно система выражений x в кубе = минус 1,y = 0 конец системы . равносильно система выражений x = минус 1,y = 0. конец системы .$

Рассмотрим случай $3x в квадрате = y в квадрате :$

$система выражений x в кубе минус 3xy в квадрате = минус 1,3x в квадрате = y в квадрате конец системы . равносильно система выражений x в кубе минус 9x в кубе = минус 1,3x в квадрате = y в квадрате конец системы . равносильно система выражений минус 8x в кубе = минус 1,3x в квадрате = y в квадрате конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений x в кубе = дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби ,3x в квадрате = y в квадрате конец системы . равносильно система выражений x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,y в квадрате = дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби конец системы . равносильно совокупность выражений система выражений x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,y = минус дробь: числитель: корень из 3 , знаменатель: 2 конец дроби , конец системы . система выражений x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,y = дробь: числитель: корень из 3 , знаменатель: 2 конец дроби . конец системы . конец совокупности .$ $система выражений x в кубе минус 3xy в квадрате = минус 1,3x в квадрате = y в квадрате конец системы . равносильно система выражений x в кубе минус 9x в кубе = минус 1,3x в квадрате = y в квадрате конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений минус 8x в кубе = минус 1,3x в квадрате = y в квадрате конец системы . равносильно система выражений x в кубе = дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби ,3x в квадрате = y в квадрате конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,y в квадрате = дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби конец системы . равносильно совокупность выражений система выражений x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,y = минус дробь: числитель: корень из 3 , знаменатель: 2 конец дроби , конец системы . система выражений x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,y = дробь: числитель: корень из 3 , знаменатель: 2 конец дроби . конец системы . конец совокупности .$

Таким образом, $z= минус 1,$ $z= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: i корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби ,$ $z= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби минус дробь: числитель: i корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби .$

Правильные ответы указаны под номерами 2, 3 и 4.

Ответ: 234

Аналоги к заданию № 4089: 4090 Все

РешениеСпрятать решение · Помощь

Наверх