ЕНТ–2024, математика: задания, ответы, решения

Варианты заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д46 A46 № 4088 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Уравнения с комплексными числами

Сложные комплексные числа. Решение уравнений с комплексными числами

Решите уравнение: $z в квадрате =i.$

1) $z = дробь: числитель: корень из 2 , знаменатель: 2 конец дроби минус дробь: числитель: корень из 2 , знаменатель: 2 конец дроби i$

2) $z = минус дробь: числитель: корень из 2 , знаменатель: 2 конец дроби минус дробь: числитель: корень из 2 , знаменатель: 2 конец дроби i$

3) $z = дробь: числитель: корень из 2 , знаменатель: 2 конец дроби плюс корень из 2 i$

4) $z = корень из 2 плюс дробь: числитель: корень из 2 , знаменатель: 2 конец дроби i$

5) $z = дробь: числитель: корень из 2 , знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: корень из 2 , знаменатель: 2 конец дроби i$

6) $z = минус дробь: числитель: корень из 2 , знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: корень из 2 , знаменатель: 2 конец дроби i$

Решение.

Пусть $z = x плюс iy,$ где x и y  — вещественные числа. Тогда:

$левая круглая скобка x плюс iy правая круглая скобка в квадрате = i равносильно x в квадрате плюс 2xyi плюс i в квадрате y в квадрате = i равносильно левая круглая скобка x в квадрате минус y в квадрате правая круглая скобка плюс 2xy i = i равносильно$
$равносильно система выражений x в квадрате минус y в квадрате = 0,2xy = 1 конец системы . равносильно система выражений y в квадрате = x в квадрате ,2xy = 1. конец системы . равносильно система выражений y = \pm x,2xy = 1. конец системы .$ $левая круглая скобка x плюс iy правая круглая скобка в квадрате = i равносильно x в квадрате плюс 2xyi плюс i в квадрате y в квадрате = i равносильно$
$равносильно левая круглая скобка x в квадрате минус y в квадрате правая круглая скобка плюс 2xy i = i равносильно система выражений x в квадрате минус y в квадрате = 0,2xy = 1 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений y в квадрате = x в квадрате ,2xy = 1. конец системы . равносильно система выражений y = \pm x,2xy = 1. конец системы .$

Если $y=x,$ то $2x в квадрате = 1,$ откуда

$система выражений x в квадрате = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,y = x конец системы . равносильно система выражений x = \pm дробь: числитель: корень из 2 , знаменатель: 2 конец дроби ,y = x конец системы . равносильно совокупность выражений система выражений x = минус дробь: числитель: корень из 2 , знаменатель: 2 конец дроби ,y = минус дробь: числитель: корень из 2 , знаменатель: 2 конец дроби , конец системы . система выражений x = дробь: числитель: корень из 2 , знаменатель: 2 конец дроби ,y = дробь: числитель: корень из 2 , знаменатель: 2 конец дроби . конец системы . конец совокупности .$

Если $y= минус x,$ то $минус 2x в квадрате = 1;$ полученное уравнение не имеет решений.

Таким образом, $z = минус дробь: числитель: корень из 2 , знаменатель: 2 конец дроби минус дробь: числитель: корень из 2 , знаменатель: 2 конец дроби i$ или $z = дробь: числитель: корень из 2 , знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: корень из 2 , знаменатель: 2 конец дроби i.$

Правильные ответы указаны под номерами 2 и 5.

Приведем другое решение.

Пусть $z = x плюс iy,$ где x и y  — вещественные числа. Тогда:

Решим получившуюся систему:

$система выражений x в квадрате минус y в квадрате = 0,2xy = 1 конец системы . равносильно система выражений x в квадрате минус y в квадрате = 0,y = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2x конец дроби конец системы . равносильно система выражений x в квадрате плюс левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 2x правая круглая скобка в квадрате = 0,y = дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 2x конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений дробь: числитель: 4x в степени 4 минус 1, знаменатель: 4x в квадрате конец дроби = 0,y = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2x конец дроби конец системы . равносильно система выражений 4x в степени 4 = 1,y = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2x конец дроби конец системы . равносильно система выражений x = \pm дробь: числитель: корень из 2 , знаменатель: 2 конец дроби ,y = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2x конец дроби конец системы . равносильно совокупность выражений система выражений x = минус дробь: числитель: корень из 2 , знаменатель: 2 конец дроби ,y = минус дробь: числитель: корень из 2 , знаменатель: 2 конец дроби , конец системы . система выражений x = дробь: числитель: корень из 2 , знаменатель: 2 конец дроби ,y = дробь: числитель: корень из 2 , знаменатель: 2 конец дроби . конец системы . конец совокупности .$ $система выражений x в квадрате минус y в квадрате = 0,2xy = 1 конец системы . равносильно система выражений x в квадрате минус y в квадрате = 0,y = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2x конец дроби конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений x в квадрате плюс левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 2x правая круглая скобка в квадрате = 0,y = дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 2x конец системы . равносильно система выражений дробь: числитель: 4x в степени 4 минус 1, знаменатель: 4x в квадрате конец дроби = 0,y = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2x конец дроби конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений 4x в степени 4 = 1,y = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2x конец дроби конец системы . равносильно система выражений x = \pm дробь: числитель: корень из 2 , знаменатель: 2 конец дроби ,y = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2x конец дроби конец системы . равносильно совокупность выражений система выражений x = минус дробь: числитель: корень из 2 , знаменатель: 2 конец дроби ,y = минус дробь: числитель: корень из 2 , знаменатель: 2 конец дроби , конец системы . система выражений x = дробь: числитель: корень из 2 , знаменатель: 2 конец дроби ,y = дробь: числитель: корень из 2 , знаменатель: 2 конец дроби . конец системы . конец совокупности .$

Ответ: 25

Аналоги к заданию № 4087: 4088 Все

РешениеСпрятать решение · Помощь

Наверх