Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д46 A46 № 4088
i

Ре­ши­те урав­не­ние: z в квад­ра­те =i.

1) z = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из 2 , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из 2 , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби i
2) z = минус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из 2 , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из 2 , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби i
3) z = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из 2 , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс ко­рень из 2 i
4) z = ко­рень из 2 плюс дробь: чис­ли­тель: ко­рень из 2 , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби i
5) z = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из 2 , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: ко­рень из 2 , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби i
6) z = минус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из 2 , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: ко­рень из 2 , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби i
Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пусть z = x плюс iy, где x и y  — ве­ще­ствен­ные числа. Тогда:

 левая круг­лая скоб­ка x плюс iy пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те = i рав­но­силь­но x в квад­ра­те плюс 2xyi плюс i в квад­ра­те y в квад­ра­те = i рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус y в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 2xy i = i рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний x в квад­ра­те минус y в квад­ра­те = 0,2xy = 1 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний y в квад­ра­те = x в квад­ра­те ,2xy = 1. конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний y = \pm x,2xy = 1. конец си­сте­мы .

Если y=x, то 2x в квад­ра­те = 1, от­ку­да

 си­сте­ма вы­ра­же­ний x в квад­ра­те = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ,y = x конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний x = \pm дробь: чис­ли­тель: ко­рень из 2 , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ,y = x конец си­сте­мы . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний си­сте­ма вы­ра­же­ний x = минус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из 2 , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ,y = минус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из 2 , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , конец си­сте­мы . си­сте­ма вы­ра­же­ний x = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из 2 , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ,y = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из 2 , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . конец си­сте­мы . конец со­во­куп­но­сти .

Если y= минус x, то  минус 2x в квад­ра­те = 1; по­лу­чен­ное урав­не­ние не имеет ре­ше­ний.

Таким об­ра­зом, z = минус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из 2 , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из 2 , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби i или z = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из 2 , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: ко­рень из 2 , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби i.

 

Пра­виль­ные от­ве­ты ука­за­ны под но­ме­ра­ми 2 и 5.

 

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Пусть z = x плюс iy, где x и y  — ве­ще­ствен­ные числа. Тогда:

 левая круг­лая скоб­ка x плюс iy пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те = i рав­но­силь­но x в квад­ра­те плюс 2xyi плюс i в квад­ра­те y в квад­ра­те = i рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус y в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 2xy i = i рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний x в квад­ра­те минус y в квад­ра­те = 0,2xy = 1. конец си­сте­мы .

Решим по­лу­чив­шу­ю­ся си­сте­му:

 си­сте­ма вы­ра­же­ний x в квад­ра­те минус y в квад­ра­те = 0,2xy = 1 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний x в квад­ра­те минус y в квад­ра­те = 0,y = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2x конец дроби конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний x в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: конец дроби 2x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те = 0,y = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: конец дроби 2x конец си­сте­мы . рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний дробь: чис­ли­тель: 4x в сте­пе­ни 4 минус 1, зна­ме­на­тель: 4x в квад­ра­те конец дроби = 0,y = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2x конец дроби конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний 4x в сте­пе­ни 4 = 1,y = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2x конец дроби конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний x = \pm дробь: чис­ли­тель: ко­рень из 2 , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ,y = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2x конец дроби конец си­сте­мы . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний си­сте­ма вы­ра­же­ний x = минус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из 2 , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ,y = минус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из 2 , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , конец си­сте­мы . си­сте­ма вы­ра­же­ний x = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из 2 , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ,y = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из 2 , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . конец си­сте­мы . конец со­во­куп­но­сти .


Аналоги к заданию № 4087: 4088 Все

Классификатор алгебры: Урав­не­ния с ком­плекс­ны­ми чис­ла­ми