ЕНТ–2024, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д46 A46 № 4097 Добавить в вариант

Решите уравнение: $z в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка плюс 2z в квадрате плюс 1=0.$

1) $z=1 минус i$

2) $z=i$

3) $z=2i$

4) $z= минус i$

5) $z= минус 2i$

6) $z=1$

Спрятать решение

Решение.

Пусть $t = z в квадрате ,$ тогда $t в квадрате плюс 2t плюс 1 = 0.$ Пусть $t = x плюс iy,$ где x и y  — вещественные числа. Тогда:

$левая круглая скобка x плюс iy правая круглая скобка в квадрате плюс 2 левая круглая скобка x плюс iy правая круглая скобка плюс 1 = 0 равносильно x в квадрате плюс 2xiy плюс i в квадрате y в квадрате плюс 2x плюс 2iy плюс 1 = 0 равносильно$
$равносильно x в квадрате плюс 2x минус y в квадрате плюс 2xiy плюс 2iy = минус 1 равносильно x в квадрате минус y в квадрате плюс 2x плюс i левая круглая скобка 2xy плюс 2y правая круглая скобка = минус 1 равносильно система выражений x в квадрате минус y в квадрате плюс 2x = минус 1,2xy плюс 2y = 0. конец системы .$ $левая круглая скобка x плюс iy правая круглая скобка в квадрате плюс 2 левая круглая скобка x плюс iy правая круглая скобка плюс 1 = 0 равносильно x в квадрате плюс 2xiy плюс i в квадрате y в квадрате плюс 2x плюс 2iy плюс 1 = 0 равносильно$
$равносильно x в квадрате плюс 2x минус y в квадрате плюс 2xiy плюс 2iy = минус 1 равносильно$
$равносильно x в квадрате минус y в квадрате плюс 2x плюс i левая круглая скобка 2xy плюс 2y правая круглая скобка = минус 1 равносильно система выражений x в квадрате минус y в квадрате плюс 2x = минус 1,2xy плюс 2y = 0. конец системы .$ $левая круглая скобка x плюс iy правая круглая скобка в квадрате плюс 2 левая круглая скобка x плюс iy правая круглая скобка плюс 1 = 0 равносильно$
$равносильно x в квадрате плюс 2xiy плюс i в квадрате y в квадрате плюс 2x плюс 2iy плюс 1 = 0 равносильно$
$равносильно x в квадрате плюс 2x минус y в квадрате плюс 2xiy плюс 2iy = минус 1 равносильно$
$равносильно x в квадрате минус y в квадрате плюс 2x плюс i левая круглая скобка 2xy плюс 2y правая круглая скобка = минус 1 равносильно система выражений x в квадрате минус y в квадрате плюс 2x = минус 1,2xy плюс 2y = 0. конец системы .$ $левая круглая скобка x плюс iy правая круглая скобка в квадрате плюс 2 левая круглая скобка x плюс iy правая круглая скобка плюс 1 = 0 равносильно$
$равносильно x в квадрате плюс 2xiy плюс i в квадрате y в квадрате плюс 2x плюс 2iy плюс 1 = 0 равносильно$
$равносильно x в квадрате плюс 2x минус y в квадрате плюс 2xiy плюс 2iy = минус 1 равносильно$
$равносильно x в квадрате минус y в квадрате плюс 2x плюс i левая круглая скобка 2xy плюс 2y правая круглая скобка = минус 1 равносильно$
$равносильно система выражений x в квадрате минус y в квадрате плюс 2x = минус 1,2xy плюс 2y = 0. конец системы .$

Рассмотрим уравнение $2xy плюс 2y = 0:$

$2xy плюс 2y = 0 равносильно 2y левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка = 0 равносильно совокупность выражений y = 0,x = минус 1. конец совокупности .$

Рассмотрим случай y  =  0:

$система выражений x в квадрате минус y в квадрате плюс 2x = минус 1,y = 0 конец системы . равносильно система выражений x в квадрате плюс 2x плюс 1 = 0,y = 0 конец системы . равносильно система выражений левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате = 0,y = 0 конец системы . равносильно система выражений x = минус 1,y = 0. конец системы .$ $система выражений x в квадрате минус y в квадрате плюс 2x = минус 1,y = 0 конец системы . равносильно система выражений x в квадрате плюс 2x плюс 1 = 0,y = 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате = 0,y = 0 конец системы . равносильно система выражений x = минус 1,y = 0. конец системы .$

Рассмотрим случай x  =  −1:

$система выражений x в квадрате минус y в квадрате плюс 2x = минус 1,x = минус 1 конец системы . равносильно система выражений x = минус 1,y = 0. конец системы .$

Вернемся к исходной переменной: $t = минус 1,$ тогда $z в квадрате = минус 1 равносильно совокупность выражений z = i,z = минус i. конец совокупности .$

Правильные ответы указаны под номерами 2 и 4.

Аналоги к заданию № 4097: 4098 Все

Классификатор алгебры: Уравнения с комплексными числами

Спрятать решение · Помощь