Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 40 № 3982
i

От­ре­зок DC пер­пен­ди­ку­ля­рен плос­ко­сти пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC, ∠B  =  90°. Тре­уголь­ник ACD рав­но­бед­рен­ный. Из пе­ре­чис­лен­ных ниже от­ве­тов най­ди­те те, ко­то­рые равны зна­че­нию синус угла между плос­ко­стью ADB и ABC, если AD = 5 ко­рень из 2 , AB  =  3.

1) дробь: чис­ли­тель: 5 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 41 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 41 конец дроби
2) дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 41 конец дроби
3) дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 41 конец ар­гу­мен­та конец дроби
4) дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 41 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 41 конец дроби
5) левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 41 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 5 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка
6) дробь: чис­ли­тель: 5 ко­рень из 5 , зна­ме­на­тель: 41 конец дроби
Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Про­ве­дем вы­со­ту DM в тре­уголь­ни­ке ADB, а также пер­пен­ди­ку­ляр MN к пря­мой AB, ле­жа­щий в плос­ко­сти ABC. Угол между плос­ко­стя­ми ADB и ABC равен углу между пер­пен­ди­ку­ля­ра­ми DM и MN, синус \angleDMN — ис­ко­мый.

Тре­уголь­ник ACD рав­но­бед­рен­ный, AC  =  CD. Угол ACD — пря­мой, так как DC пер­пен­ди­ку­ля­рен плос­ко­сти ABC. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке ACD:

DC в квад­ра­те плюс AC в квад­ра­те = AD в квад­ра­те рав­но­силь­но 2DC в квад­ра­те = левая круг­лая скоб­ка 5 ко­рень из 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те рав­но­силь­но DC в квад­ра­те = 25 рав­но­силь­но DC = 5.

Таким об­ра­зом, AC  =  DC  =  5. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC ги­по­те­ну­за AC равна 5, а катет AB равен 3, сле­до­ва­тель­но, BC  =  4 по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра. Тре­уголь­ник BDC пря­мо­уголь­ный, так как DC пер­пен­ди­ку­ля­рен плос­ко­сти ABC. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

BC в квад­ра­те плюс DC в квад­ра­те = BD в квад­ра­те рав­но­силь­но BD = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 4 в квад­ра­те плюс 5 в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та рав­но­силь­но BD = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 41 конец ар­гу­мен­та .

Най­дем пло­щадь тре­уголь­ни­ка ADB по фор­му­ле Ге­ро­на:

S = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: p левая круг­лая скоб­ка p минус a пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка p минус b пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка p минус c пра­вая круг­лая скоб­ка конец ар­гу­мен­та =
= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 41 конец ар­гу­мен­та плюс 5 ко­рень из 2 плюс 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 41 конец ар­гу­мен­та плюс 5 ко­рень из 2 плюс 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 41 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 41 конец ар­гу­мен­та плюс 5 ко­рень из 2 плюс 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус 5 ко­рень из 2 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 41 конец ар­гу­мен­та плюс 5 ко­рень из 2 плюс 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка конец ар­гу­мен­та =
= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 41 конец ар­гу­мен­та плюс 5 ко­рень из 2 плюс 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 5 ко­рень из 2 плюс 3 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 41 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 41 конец ар­гу­мен­та минус 5 ко­рень из 2 плюс 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 41 конец ар­гу­мен­та плюс 5 ко­рень из 2 минус 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец ар­гу­мен­та = дробь: чис­ли­тель: 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 41, зна­ме­на­тель: конец ар­гу­мен­та конец дроби 2.

Так как S_ADB = дробь: чис­ли­тель: AB умно­жить на DM, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 41 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , DM = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 41 конец ар­гу­мен­та . В тре­уголь­ни­ке DMN про­ве­дем вы­со­ту DH к сто­ро­не MN, DH  =  DC  =  5. Имеем:

синус \angleDMN = дробь: чис­ли­тель: DH, зна­ме­на­тель: DM конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 41 конец ар­гу­мен­та конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 5 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 41 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 41 конец дроби .

 

Пра­виль­ные от­ве­ты ука­за­ны под но­ме­ра­ми 1, 3 и 5.

Источник: Де­мон­стра­ци­он­ная вер­сия ЕНТ−2023 по ма­те­ма­ти­ке. Ва­ри­ант 2
Классификатор стереометрии: 1\.3\. Угол между плос­ко­стя­ми
Спрятать решение · Помощь