Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 3752
i

Ре­ши­те си­сте­му не­ра­венств: си­сте­ма вы­ра­же­ний ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 4x минус 7 конец ар­гу­мен­та мень­ше x, ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x плюс 5 конец ар­гу­мен­та плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 минус x конец ар­гу­мен­та боль­ше 4, конец си­сте­мы . и ука­жи­те ко­ли­че­ство целых ре­ше­ний си­сте­мы не­ра­венств.

1) 4
2) 2
3) 1
4) 3
Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пер­вое не­ра­вен­ство опре­де­ле­но при усло­вии 4x минус 7 боль­ше или равно 0, от­ку­да боль­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби . Вто­рое — толь­ко при усло­вии x мень­ше или равно 5, что остав­ля­ет для це­ло­го x толь­ко ва­ри­ан­ты 2; 3; 4; 5. Можно было бы про­сто пе­ре­брать их. Но мы решим си­сте­му, по­сколь­ку это тоже про­сят сде­лать, хотя и не про­ве­ря­ют.

Пер­вое не­ра­вен­ство можно воз­ве­сти в квад­рат, по­сколь­ку обе его части не­от­ри­ца­тель­ны. По­лу­чим

4x минус 7 мень­ше x в квад­ра­те рав­но­силь­но x в квад­ра­те минус 4x плюс 7 боль­ше 0 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс 3 боль­ше 0,

что верно при всех до­пу­сти­мых x.

Вто­рое не­ра­вен­ство тоже можно воз­ве­сти в квад­рат, по­сколь­ку обе его части не­от­ри­ца­тель­ны. По­лу­чим

x плюс 5 плюс 5 минус x плюс 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: левая круг­лая скоб­ка x плюс 5 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 5 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка конец ар­гу­мен­та боль­ше 16 рав­но­силь­но 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: левая круг­лая скоб­ка x плюс 5 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 5 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка конец ар­гу­мен­та боль­ше 6 рав­но­силь­но ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: левая круг­лая скоб­ка x плюс 5 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 5 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка конец ар­гу­мен­та боль­ше 3 рав­но­силь­но
рав­но­силь­но 25 минус x в квад­ра­те боль­ше 9 рав­но­силь­но x в квад­ра­те минус 16 мень­ше 0 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка x плюс 4 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше 0 рав­но­силь­но x при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка минус 4; 4 пра­вая круг­лая скоб­ка ,

од­на­ко с уче­том до­пол­ни­тель­ных усло­вий от­ве­том будет x при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ; 4 пра­вая круг­лая скоб­ка .

Этот же про­ме­жу­ток будет и от­ве­том на всю си­сте­му не­ра­венств. Он со­дер­жит целые числа x=2 и x=3.

 

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 2.

Источник: Де­мон­стра­ци­он­ная вер­сия ЕНТ по ма­те­ма­ти­ке 2021 года. От­ре­дак­ти­ро­ва­но ре­дак­ци­ей Решу ЕНТ в фор­мат ак­ту­аль­ной де­мо­вер­сии
Классификатор алгебры: 3\.12\. Ир­ра­ци­о­наль­ные не­ра­вен­ства, 3\.14\. Си­сте­мы не­ра­венств
Методы алгебры: Воз­ве­де­ние в квад­рат, Метод ин­тер­ва­лов
Спрятать решение · Помощь