ЕНТ–2024, математика: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д47 A47 № 3371 Добавить в вариант

Какому промежутку принадлежит произведение x · y, где (x; y) — решение системы уравнений:

$система выражений логарифм по основанию 5 левая круглая скобка x в квадрате плюс y в квадрате правая круглая скобка =2, логарифм по основанию 2 x минус 2= логарифм по основанию 2 3 минус логарифм по основанию 2 y. конец системы .$

1) [3; 15]

2) (0; 13)

3) [−4; 1]

4) (2; 17)

5) [−4; 10]

6) [1; 5]

Спрятать решение

Решение.

Первое уравнение равносильно $x в квадрате плюс y в квадрате =25,$ а второе можно преобразовать как

$логарифм по основанию 2 x плюс логарифм по основанию 2 y=2 плюс логарифм по основанию 2 3\Rightarrow логарифм по основанию 2 xy= логарифм по основанию 2 4 плюс логарифм по основанию 2 3 равносильно логарифм по основанию 2 xy= логарифм по основанию 2 12 равносильно xy=12.$ $логарифм по основанию 2 x плюс логарифм по основанию 2 y=2 плюс логарифм по основанию 2 3\Rightarrow логарифм по основанию 2 xy= логарифм по основанию 2 4 плюс логарифм по основанию 2 3 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 2 xy= логарифм по основанию 2 12 равносильно xy=12.$ $логарифм по основанию 2 x плюс логарифм по основанию 2 y=2 плюс логарифм по основанию 2 3\Rightarrow$
$\Rightarrow логарифм по основанию 2 xy= логарифм по основанию 2 4 плюс логарифм по основанию 2 3 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 2 xy= логарифм по основанию 2 12 равносильно xy=12.$

При этом $x больше 0$ и $y больше 0$ (иначе логарифмы не определены). Итак, любое решение системы, а они есть, например (3; 4), удовлетворяет условию $xy=12,$ принадлежащее промежуткам 1, 2 и 4.

Правильные ответы указаны под номерами 1, 2 и 4.

Источник: ЕНТ по математике 2021 года, вариант 5. Отредактировано редакцией Решу ЕНТ в формат актуальной демоверсии

Классификатор алгебры: 5\.11\. Системы логарифмических уравнений

Спрятать решение · Помощь