Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 19 № 2482
i

В тра­пе­цию, у ко­то­рой ниж­нее ос­но­ва­ние в два раза боль­ше верх­не­го и бо­ко­вая сто­ро­на равна 9, впи­са­на окруж­ность. Ра­ди­ус окруж­но­сти равен:

1) 3
2) ко­рень из 7
3) 2 ко­рень из 3
4) 3 ко­рень из 2
Спрятать решение

Ре­ше­ние.

У лю­бо­го опи­сан­но­го че­ты­рех­уголь­ни­ка суммы про­ти­во­по­лож­ных сто­рон равны. Пусть верх­нее ос­но­ва­ние тра­пе­ции имеет длину x, а ниж­нее 2x, тогда

x плюс 2x=9 плюс 9 рав­но­силь­но 3x=18 рав­но­силь­но x=6.

Опу­стим из B и C — вер­шин мень­ше­го ос­но­ва­ния — пер­пен­ди­ку­ля­ры BH и CK на AD (см. ри­су­нок). Тогда

AH=KD= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка AD минус BC пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 6=3

и по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра для тре­уголь­ни­ка ABH по­лу­ча­ем

BH= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: AB в квад­ра­те минус AH в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 81 минус 9 конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 72 конец ар­гу­мен­та =6 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та .

Зна­чит, рас­сто­я­ние между ос­но­ва­ни­я­ми тра­пе­ции равно 6 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та . С дру­гой сто­ро­ны, один из диа­мет­ров впи­сан­ной окруж­но­сти тоже пред­став­ля­ет собой такое рас­сто­я­ние. Зна­чит, ра­ди­ус окруж­но­сти равен 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та .

 

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 4.

Источник: Ре­аль­ная вер­сия ЕНТ по ма­те­ма­ти­ке 2021 года, ва­ри­ант 4221. От­ре­дак­ти­ро­ва­но ре­дак­ци­ей Решу ЕНТ в фор­мат ак­ту­аль­ной де­мо­вер­сии
Классификатор планиметрии: 2\.5\. Осо­бые виды тра­пе­ций (рав­ноб\., пря­мо­уг\., перп\. диаг\. и др\.), 3\.3\. Впи­сан­ная окруж­ность
Спрятать решение · Помощь