РЕШУ ЕНТ — математика

Задания

Тип Д35 A35 № 1927 Добавить в вариант

Задания реальной версии ЕНТ 2021 года на позиции 35

В основании прямой призмы лежит равнобедренная трапеция, тупой угол которой равен 120°. Диагональ трапеции является биссектрисой острого угла. Диагональ призмы образует с основанием угол 45°. Меньшее основание равно 4. Число V — объем призмы. Укажите нечетные делители числа V.

1) 1

2) 7

3) 11

4) 2

5) 15

6) 3

7) 5

8) 9

Решение. Острый угол трапеции в основании равен $180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус 120 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка =60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка ,$ поэтому

$\angle CAB= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби \angle DAB= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка =30 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка$

$\angle ACB=180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle CAB минус \angle CBA=180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус 30 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус 120 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка =30 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка ,$

откуда $AB=BC=4.$ По теореме косинусов для треугольника ABC находим

$AC= корень из: начало аргумента: 4 в квадрате плюс 4 в квадрате минус 2 умножить на 4 умножить на 4 косинус 120 в степени левая круглая скобка \circ конец аргумента правая круглая скобка = корень из: начало аргумента: 16 плюс 16 минус 2 умножить на 16 умножить на левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка конец аргумента = корень из: начало аргумента: 16 плюс 16 плюс 16 конец аргумента = корень из: начало аргумента: 48 конец аргумента =4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$ $AC= корень из: начало аргумента: 4 в квадрате плюс 4 в квадрате минус 2 умножить на 4 умножить на 4 косинус 120 в степени левая круглая скобка \circ конец аргумента правая круглая скобка = корень из: начало аргумента: 16 плюс 16 минус 2 умножить на 16 умножить на левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка конец аргумента =$
$= корень из: начало аргумента: 16 плюс 16 плюс 16 конец аргумента = корень из: начало аргумента: 48 конец аргумента =4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$ $AC= корень из: начало аргумента: 4 в квадрате плюс 4 в квадрате минус 2 умножить на 4 умножить на 4 косинус 120 в степени левая круглая скобка \circ конец аргумента правая круглая скобка =$
$= корень из: начало аргумента: 16 плюс 16 минус 2 умножить на 16 умножить на левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка конец аргумента =$
$= корень из: начало аргумента: 16 плюс 16 плюс 16 конец аргумента = корень из: начало аргумента: 48 конец аргумента =4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$

Далее,

$\angle ACD=\angle BCD минус \angle BCA=120 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус 30 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка =90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка$

и по теореме Пифагора $AD в квадрате =AC в квадрате плюс CD в квадрате =48 плюс 16=64,$ то есть $AD=8.$ Значит, площадь основания равна

$S_ABC плюс S_ACD= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 4 умножить на 4 синус 120 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента умножить на 4=8 умножить на дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби плюс 8 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента =4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента плюс 8 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента =12 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$ $S_ABC плюс S_ACD= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 4 умножить на 4 синус 120 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента умножить на 4=$
$=8 умножить на дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби плюс 8 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента =4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента плюс 8 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента =12 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$

В прямоугольном треугольнике ACC₁ находим $CC_1=AC тангенс 45 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка =AC=4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$ Значит, объем призмы равен

$12 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента умножить на 4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента =48 умножить на 3=144=2 в степени 4 умножить на 3 в квадрате .$

У этого числа нечетными делителями будут только 1, 3 и 9.

Правильные ответы указаны под номерами 1, 6 и 8.

Ответ: 168

1927

168

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	1927	168