РЕШУ ЕНТ — математика

Задания

Тип 23 № 8153 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 5\.9\. Прочие логарифмические уравнения

Логарифмические уравнения. Задания для подготовки

Укажите произведение корней уравнения: $x в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 4 x плюс 1 правая круглая скобка = 6 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 6 16 правая круглая скобка .$

1) $дробь: числитель: 1, знаменатель: 16 конец дроби$

2) $дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби$

3) 1

4) $дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби$

Решение. Выполним преобразования:

$x в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 4 x плюс 1 правая круглая скобка = 6 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 6 16 правая круглая скобка равносильно x в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 4 x плюс 1 правая круглая скобка = 16 равносильно x в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби логарифм по основанию 2 x плюс 1 правая круглая скобка = 16 равносильно система выражений x больше 0, логарифм по основанию 2 x в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби логарифм по основанию 2 x плюс 1 правая круглая скобка = логарифм по основанию 2 16 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений x больше 0, левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби логарифм по основанию 2 x плюс 1 правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию 2 x = логарифм по основанию 2 16 конец системы . равносильно система выражений x больше 0, левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби логарифм по основанию 2 x плюс 1 правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию 2 x = 4. конец системы .$ $x в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 4 x плюс 1 правая круглая скобка = 6 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 6 16 правая круглая скобка равносильно x в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 4 x плюс 1 правая круглая скобка = 16 равносильно$
$равносильно x в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби логарифм по основанию 2 x плюс 1 правая круглая скобка = 16 равносильно система выражений x больше 0, логарифм по основанию 2 x в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби логарифм по основанию 2 x плюс 1 правая круглая скобка = логарифм по основанию 2 16 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений x больше 0, левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби логарифм по основанию 2 x плюс 1 правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию 2 x = логарифм по основанию 2 16 конец системы . равносильно система выражений x больше 0, левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби логарифм по основанию 2 x плюс 1 правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию 2 x = 4. конец системы .$ $x в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 4 x плюс 1 правая круглая скобка = 6 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 6 16 правая круглая скобка равносильно x в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 4 x плюс 1 правая круглая скобка = 16 равносильно$
$равносильно x в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби логарифм по основанию 2 x плюс 1 правая круглая скобка = 16 равносильно система выражений x больше 0, логарифм по основанию 2 x в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби логарифм по основанию 2 x плюс 1 правая круглая скобка = логарифм по основанию 2 16 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений x больше 0, левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби логарифм по основанию 2 x плюс 1 правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию 2 x = логарифм по основанию 2 16 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений x больше 0, левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби логарифм по основанию 2 x плюс 1 правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию 2 x = 4. конец системы .$ $x в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 4 x плюс 1 правая круглая скобка = 6 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 6 16 правая круглая скобка равносильно x в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 4 x плюс 1 правая круглая скобка = 16 равносильно$
$равносильно x в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби логарифм по основанию 2 x плюс 1 правая круглая скобка = 16 равносильно$
$равносильно система выражений x больше 0, логарифм по основанию 2 x в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби логарифм по основанию 2 x плюс 1 правая круглая скобка = логарифм по основанию 2 16 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений x больше 0, левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби логарифм по основанию 2 x плюс 1 правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию 2 x = логарифм по основанию 2 16 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений x больше 0, левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби логарифм по основанию 2 x плюс 1 правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию 2 x = 4. конец системы .$

Пусть $t = логарифм по основанию 2 x.$ Тогда:

$левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби t плюс 1 правая круглая скобка t = 4 равносильно t в квадрате плюс 2t минус 8 = 0 равносильно совокупность выражений t = минус 4, t = 2. конец совокупности .$

Вернемся к исходной переменной:

$система выражений x больше 0, совокупность выражений логарифм по основанию 2 x = минус 4, логарифм по основанию 2 x = 2 конец системы . конец совокупности . равносильно система выражений x больше 0, совокупность выражений x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 16 конец дроби , x = 4 конец системы . конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 16 конец дроби , x = 4. конец совокупности .$

Произведение корней уравнения равно $дробь: числитель: 1, знаменатель: 16 конец дроби умножить на 4 = дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби .$

Правильный ответ указан под номером 2.

Ответ: 2

8153

Классификатор алгебры: 5\.9\. Прочие логарифмические уравнения

Методы алгебры: Замена переменной

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	8153	2